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एबीसी न्यूज
क्या आप आखिरी बॉलिंग पिन को पछाड़ सकते हैं?

द रिडलर में आपका स्वागत है। हर हफ्ते, मैं उन चीजों से संबंधित समस्याओं की पेशकश करता हूं जो हमें यहां प्रिय हैं: गणित, तर्क और संभावना। प्रत्येक सप्ताह दो पहेलियाँ प्रस्तुत की जाती हैं: आप में से उन लोगों के लिए रिडलर एक्सप्रेस जो कुछ काटने के आकार और धीमी पहेली आंदोलन में आप में से उन लोगों के लिए रिडलर क्लासिक चाहते हैं। दोनों में से किसी एक के लिए सही उत्तर प्रस्तुत करें,1 और आपको अगले कॉलम में एक चिल्लाहट मिल सकती है। अपने उत्तरों को सार्वजनिक रूप से साझा करने के लिए कृपया सोमवार तक प्रतीक्षा करें! यदि आपको संकेत चाहिए या आपके पास अपने अटारी में धूल जमा करने वाली कोई पसंदीदा पहेली है,मुझे ट्विटर पर ढूंढेंयामुझे एक ईमेल भेजें.

रिडलर एक्सप्रेस

माइकल ब्रैंकी की ओर से एक पहेली आती है जो के ईमेल थ्रेड से प्रेरित थीजेम्स प्रॉप:

मान लीजिए आप मेला लगाते हैंछह तरफा मरनाएक कटे हुए ग्नोच्ची बोर्ड पर, जैसे कि दो आसन्न चेहरे हर बार सामने आते हैं।

औसतन, उन दो फलकों पर दिखाई गई संख्याओं का योग क्या है?

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रिडलर क्लासिक

गेंदबाज को मैग्रिट करें वापस आ गया है! इस बार उनका मुकाबला साथी गेंदबाज फॉसे से है। हालांकि, त्रिकोणीय गठन में व्यवस्थित 10 पिनों को नीचे गिराने के बजाय, वे नीचे दस्तक देने की कोशिश कर रहे हैंएन2पिन (जहांएनकुछ बहुत, बहुत बड़ी संख्या है) एक समचतुर्भुज में व्यवस्थित है, जैसा कि नीचे दिखाया गया है:

जब मैग्रीट लुढ़कता है, तो वह हमेशा सबसे ऊपरी पिन को नीचे गिराता है। फिर, यदि कोई पिन खटखटाया जाता है, तो उसके पीछे दो पिनों में से किसी एक को सीधे एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से नीचे गिराने की 50 प्रतिशत संभावना होती है। (यदि इसके ठीक पीछे केवल एक ही पिन है, तो उसके भी खटखटाने की 50 प्रतिशत संभावना है।)

फॉसे मैग्रीट से ज्यादा मजबूत गेंदबाज हैं। मैग्रीट की तरह, वह हमेशा सबसे ऊपरी पिन को गिराती है। लेकिन प्रत्येक पिन जिसे खटखटाया जाता है, उसके पीछे किसी भी पिन को सीधे नीचे गिराने की 70 प्रतिशत संभावना (मैग्रिट के 50 प्रतिशत के बजाय) होती है।

मैग्रिट और फॉसे के नीचे दस्तक देने की संबंधित संभावनाएं क्या हैंसब से नीचासमचतुर्भुज निर्माण में पिन करें?

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पिछले हफ्ते की रिडलर एक्सप्रेस का समाधान

कैंटन, मिशिगन के विशाल नायक को बधाई, के विजेतापिछले हफ्ते की रिडलर एक्सप्रेस.

पिछले सप्ताह, आपने का एक संस्करण चलाया थाखोल खेल . प्रत्येक खेल में, एक महिला ने तीन कपों में से एक के नीचे एक गेंद रखी और फिर राहगीरों से पूछने से पहले कई बार कप के जोड़े की स्थिति बदली कि उन्हें लगा कि गेंद अब किस कप के नीचे है।

आपके पास यह अच्छा अधिकार था कि वह निष्पक्ष रूप से खेल रही थी, सभी चालों को सादे दृष्टि से कर रही थी, यद्यपि आपके लिए यह ट्रैक करने के लिए बहुत तेज़ था कि वह कौन से कप चल रही थी। हालाँकि, आपके पास एक अतिरिक्त महत्वपूर्ण जानकारी थी - हर बार जब उसने कपों की अदला-बदली की, तो उनमें से एक के पास गेंद थी। दूसरे शब्दों में, उसने कभी भी दो खाली कपों की अदला-बदली नहीं की।

जब अनुमान लगाने की आपकी बारी थी, तो आपने ध्यान दिया कि उसने शुरू में गेंद को किस कप के नीचे रखा था। फिर, जैसे ही उसने कप स्वैप करना शुरू किया, आपने अपनी आँखें बंद कर लीं और स्वैप की संख्या गिन ली। एक बार जब वह हो गई, तो आपने फिर से अपनी आँखें खोलीं। यह अनुमान लगाने के लिए आपकी सबसे अच्छी रणनीति क्या थी कि किस कप में गेंद थी?

शुरुआत के लिए, मान लें कि, प्रत्येक चाल के साथ, महिला बेतरतीब ढंग से चुन रही थी कि किस खाली कप को उस कप के साथ स्वैप करना है जिसके नीचे गेंद थी। (हम इस धारणा पर बाद में लौटेंगे।)

शून्य स्वैप के बाद, आप जानते हैं कि गेंद निश्चित रूप से कप के नीचे है जहां इसे रखा गया था, जिसे हम कप ए कहते हैं। एक स्वैप के बाद, यह निश्चित रूप से अन्य दो कपों में से एक के नीचे था, जिसे हम कप बी और सी कहते हैं। अब दो अदला-बदली के बाद, 50 प्रतिशत संभावना थी कि गेंद कप ए (बी या सी से) में वापस आ गई थी, लेकिन 50 प्रतिशत संभावना यह भी थी कि गेंद बदल गई थीके बीचबी और सी। इस बिंदु पर, गेंद के ए में होने का 50 प्रतिशत मौका था, बी में होने का 25 प्रतिशत मौका और सी में होने का 25 प्रतिशत मौका था। इसका मतलब था कि आपकी सबसे अच्छी शर्त कप ए का अनुमान लगाना था।

प्रत्येक अदला-बदली के साथ, प्रायिकता आगे-पीछे झूलती रही, थोड़े से अनुकूल कप ए के बीच बारी-बारी से, दोनों कप बी और सी के पक्ष में, फिर वापस थोड़ा सा कप ए के पक्ष में। का उपयोग करते हुएमार्कोव चेनसॉल्वरटॉम सिंगरएन . गेंद के कप A में होने की प्रायिकता 1/3 + 2/3·(−1/2) थीएन, जबकि गेंद के कप B या C में होने की प्रायिकता 1/3 - 1/3·(−1/2) दोनों थीएन.

तो अगर महिला बेतरतीब ढंग से खाली कप उठा रही थी जिसके साथ स्वैप करना है, तो आपका सबसे अच्छा दांव थाउस कप को चुनें जिसके तहत शुरुआत में गेंद को समान संख्या में स्वैप के बाद रखा गया था, और शेष दो कपों में से कोई एक विषम संख्या में स्वैप के बाद।

अब, क्या हुआ अगर औरत थीनहीं कप को गेंद के साथ स्वैप करने के लिए बेतरतीब ढंग से कप चुन रहे हैं? इस मामले में, वह निश्चित रूप से आपके सिर के साथ खिलवाड़ कर सकती थी। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि उसने कप ए और बी, फिर कप बी और सी, फिर कप ए और सी। सम था) सबसे खराब संभव रणनीति होती। वैकल्पिक रूप से, वह शुरू में कप ए को बी या सी के साथ बदल सकती थी, और फिर बी या सी को ए के साथ फिर से 1/6 की संभावना के साथ बदल सकती थी। उस बिंदु से परे, तीनों कपों में समान रूप से गेंद को समाहित करने की संभावना होती।

रिकॉर्ड के लिए, मैंने उन समाधानों को स्वीकार किया जो या तो यादृच्छिक अदला-बदली या अधिक नापाक अदला-बदली करते थे।

पिछले सप्ताह के रिडलर क्लासिक का समाधान

Toyooka, जापान के इज़ुमिहारा रयोमा को बधाई, विजेतापिछले हफ्ते का रिडलर क्लासिक.

पिछले हफ्ते, आपने एक खेलामात्रा खोल खेल। एक गेंद के बजाय, आप एक इलेक्ट्रॉन को पकड़ने की कोशिश कर रहे थे। अब, आप निश्चित नहीं थेयकीनन यह कहाँ था, लेकिन आप जानते थे कि यह कहीं न कहीं द्वि-आयामी सतह पर था। क्या अधिक है, आप जानते थे कि संभाव्यता वितरण एक 2D गाऊसी (या .) था"सामान्य" ) वितरण। अधिक सटीक रूप से, संभावना है कि इलेक्ट्रॉन एक दूरी थाआरकिसी केंद्रीय बिंदु से किसी भी दिशा में इकाइयाँ exp(- .) के समानुपाती थींआर2/ 2)।

आपके पास चार बेलनाकार कप थे, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या 1 इकाई थी। इस खेल में, आप कपों में से एक में इलेक्ट्रॉन होने की संभावना को अधिकतम करने के लिए कपों को सतह पर रखना चाहते थे।

आपको कप कैसे रखना चाहिए था, और आपने इलेक्ट्रॉन को पकड़ने की क्या संभावना थी?

सबसे पहले, इलेक्ट्रॉन का वास्तविक प्रायिकता वितरण क्या था? यह पता लगाने के लिए, आपको इसे सामान्य करने की आवश्यकता है (यानी, सुनिश्चित करें कि संभाव्यता वितरण के तहत कुल मात्रा 1 थी)। इसका मतलब था कि चुनाव की संभावना एक दूरी थीआरकेंद्रीय बिंदु से expक्स्प (- .) थाआर2/2)/(2𝜋)।

इस बिंदु से, वहाँ एक थाबहुत गणना का। प्रायिकता ज्ञात करने के लिए कि इलेक्ट्रॉन एक कप में था जिसका केंद्र दूरी थाडी केंद्रीय बिंदु से, आपको कप के भीतर संभाव्यता घनत्व को एकीकृत करना था। और कप में केंद्रीय बिंदु और प्रत्येक बिंदु के बीच की दूरी को खोजने के लिए (कप के केंद्र से दूरी 𝜌 और वेक्टर से केंद्रीय बिंदु तक कोण द्वारा पैरामीटर), आपको कोसाइन के कानून की आवश्यकता है। सॉल्वरस्टीव करीइस अभिन्न को नीचे दिखाया गया है:

वहां से, आपको इस अभिन्न का चार बार मूल्यांकन करना था - प्रत्येक कप के लिए एक, जो कि एक समान दूरी थीडी केंद्रीय बिंदु से। कबडी शून्य के करीब था, इसका मतलब था कि कप संभाव्यता वितरण के अधिकतम के करीब था और इसलिए इसमें इलेक्ट्रॉन होने की अधिक संभावना थी। हालाँकि, पकड़ यह थी कि कोई भी कप ओवरलैप नहीं हो सकता था, इसलिए उनमें से एक को केंद्रीय बिंदु के करीब रखने का मतलब अन्य तीन कपों को दूर (दो आयामों में) धकेलना था। और इसलिए यह पहेली एक अनुकूलन समस्या और एक क्लोज-पैकिंग समस्या के बीच एक क्रॉस थी।

हो सकता है कि आपको एक कप सीधे केंद्रीय बिंदु पर रखने का प्रलोभन दिया गया हो। अकेले इस कप में इलेक्ट्रॉन होने की लगभग 40 प्रतिशत संभावना थी। लेकिन इसका मतलब यह भी था कि शेष तीन कपों के केंद्र केंद्रीय बिंदु से कम से कम 2 की दूरी पर होने चाहिए। सभी चार कपों को मिलाकर, आपके पास इलेक्ट्रॉन को पकड़ने का केवल 64 प्रतिशत मौका था।

इसके बाद, कुछ सॉल्वरों ने केंद्रीय बिंदु के आस-पास कपों की एक सममित, वर्गाकार व्यवस्था की कोशिश की। इस व्यवस्था में, प्रत्येक कप का केंद्र केंद्रीय बिंदु से 2 की दूरी पर था। इससे आपको इलेक्ट्रान पकड़ने का 72.3 प्रतिशत मौका मिला।

यह पता चला कि सबसे अच्छी व्यवस्था यह थी कि चार कप संभाव्यता वितरण के केंद्रीय बिंदु पर केंद्रित एक क्लोज-पैक रोम्बस बनाते हैं। इसने आपको एक77.8 प्रतिशत संभावना इलेक्ट्रॉन को पकड़ने का। सॉल्वरजेनी मिशेलकप और उनके भीतर संभाव्यता वितरण का एक समोच्च नक्शा तैयार किया:

भले ही केंद्रीय बिंदु के दोनों ओर कपों के बीच अंतराल थे, यह आपके लिए सबसे अच्छा साबित हुआ।

इस पहेली में, ऐसा हुआ कि कपों की त्रिज्या 2D गाऊसी की विशेषता त्रिज्या के बराबर हो गई। लेकिन क्या होगा अगर कप बड़े या छोटे होते? जबकि आपको इसका पता लगाने के लिए नहीं कहा गया था, मैंने पाया कि यह समस्या का एक आकर्षक विस्तार है।

नीचे दिया गया ग्राफ दिखाता है कि तीन उपरोक्त व्यवस्थाओं के लिए कप त्रिज्या के साथ इलेक्ट्रॉन को पकड़ने की संभावना कैसे भिन्न होती है (एक कप सीधे केंद्र पर, वर्ग व्यवस्था और समचतुर्भुज व्यवस्था)। जब कप छोटे थे - जब कप की त्रिज्या 1 थी (यानी, यह विशेषता त्रिज्या के बराबर थी) - रोम्बस का गठन सबसे अच्छा था। लेकिन जैसे-जैसे कप बड़े होते गए, एक केंद्रीय कप होना बेहतर होता गया। (और भी, जब त्रिज्या लगभग 2.685 थी, तो रोम्बस गठन एक स्थानीय न्यूनतम के साथ एक दिलचस्प गैर-मोनोटोनिक व्यवहार दिखाने के लिए प्रकट हुआ।)

अतिरिक्त क्रेडिट के लिए, आपने तीन, पांच या छह कप जैसे विभिन्न कपों के साथ इलेक्ट्रॉन को पकड़ने की कोशिश की। जेनी ने इन मामलों को भी हल किया, यह प्रदर्शित करते हुए कि प्रत्येक अतिरिक्त कप के साथ संभावना कैसे बढ़ी:

जेनी के अनुसार, जैसे-जैसे कपों की संख्या अनंत होती गई, इलेक्ट्रॉन को स्पर्शोन्मुख रूप से पकड़ने की संभावना लगभग 90.7 प्रतिशत तक पहुंच गई।

(यदि केवल आपके पास थाक्वांटम कप जिसे आरोपित किया जा सकता है। तब आप इस संभावना को 100 प्रतिशत के करीब भी ला सकते थे।)

अधिक पहेलियाँ चाहते हैं?

अच्छा, क्या तुम भाग्यशाली नहीं हो? इस कॉलम से बेहतरीन पहेलियों से भरी एक पूरी किताब है और कुछ पहले कभी नहीं देखे गए सिर-खरोंच। इसे "द रिडलर" कहा जाता है और यहअब दुकानों में!

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ईमेल Zach Wissner-Gross atपहेली कॉलम@gmail.com.

फुटनोट

  1. महत्वपूर्ण छोटा प्रिंट: जीत के लिए, मुझे सोमवार को पूर्वी समय 11:59 बजे से पहले आपका सही उत्तर प्राप्त करने की आवश्यकता है। तुम्हारा सप्ताह का अंत अच्छा हो!

Zach Wissner-Gross, Amplify Education में गणित पाठ्यक्रम के विकास का नेतृत्व करता है और FiveThirtyEight's Riddler संपादक है।

के तहत दायर

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